ریاضی، الفبای آفرینش

مقالات ریاضی

صفحه مقالات ریاضی هم راه اندازی شد. البته برای هرچه بهتر و کاملتر کردن این صفحه به کمک همه عزیزان احتیاج دارم....... کلیک کنین

عبدالله افضلی پنج‌شنبه 11 آذر‌ماه سال 1389 ساعت 12:14 ق.ظ

نظرات 1 + ارسال نظر

امین ابراهیمی پنج‌شنبه 11 آذر‌ماه سال 1389 ساعت 02:26 ب.ظ

مطلبی درباره ی پارادوکس
پارادوکس، ناسازنما یا متناقض‌نما به هر گزاره یا نتیجه‌ای گفته می‌شود که با گزاره‌هایِ قبلیِ گفته شده در همان نظریه یا دستگاهِ نظری، و یا با یکی از باورهایِ قویِ پیش‌زمینه، شهودِ عقلی و یا باورِ عمومی در تناقض باشد. اگر پارادکس به معنایِ تناقض با یکی از گزاره‌هایِ همان نظریه‌ای باشد که پارادکس در آن پدید آمده این امر یک ضعفِ جدی برایِ آن نظریه محسوب شده و آن را بی‌اعتبار می‌کند. اما پارادکس‌هایِ بسیاری وجود دارند که نه با دستگاهِ نظری‌ای که از آن پدید آمده‌اند، بلکه با باورِ عمومیِ ما در تناقض اند. برایِ این قبیل «پارادکس‌»ها در واقع این نامِ دقیقی نیست.

پارادوکس در منطق به حکم یا احکامی ظاهرا صحیح گفته می‌شود که منجر به تناقض می‌شوند یا با شهود مطابقت نمی‌یابند. در عین حال به جملات متناقض و حتی مخالف که یک حقیقت واحد را بیان می‌کنند نیز پارادوکس می‌گویند.

با دقت در پارادوکس‌ها معمولاً مشخص می‌شود که یا از ابتدا تناقضی در مسئله وجود نداشته یا جوابی که در نگاه اول حیرت انگیز می‌نموده مشکل و تناقضی ندارد و یا اینکه فرضیات استفاده شده اصولا صحیح نبوده یا در کنار هم ناصحیح هستند. شناخت این ابهام‌ها و حل کردن پارادوکس‌ها باعث پیشرفت‌های بسیاری در علوم تجربی، ریاضیات و فلسفه گشته. هرچند که هنوز پارادوکس‌های بسیاری چون پارادوکس کری دارای جواب پذیرفته شده‌ای نیستند.
پارادوکس‌ها در منطق

ویلیام کواین پارادوکس‌های منطقی را به سه دسته تقسیم کرد:

یک سوال مهم: باتوجه به اینکه خدا قادر مطلق است ایا خدا میتواند جسمی را خلق کند که آنقدر سنگین باشد که نتواند ان را بلند کند؟ اگر شما هر جوابی به این سوال بدهید قدرت خدا نقض خواهد شد
پارادوکس‌های حقیقی

پارادوکس‌های حقیقی به ما نتایجی را ارائه می‌دهند که هر چند در وحله اول مهمل، عجیب یا غیر منتظره به نظر می‌رسند ولی در واقع صحیح هستند و هیچ خلل یا ناهماهنگی در فرضیات یا استدلالات آنها وجود ندارد. از این دسته پارادوکس‌ها می‌توان به پارادوکس روز تولد، پارادوکس جنسیت و مسئله سه کارت اشاره کرد.
پارادوکس‌های مجازی

پارادوکس‌های مجازی پارادوکس‌هایی هستند که نه تنها مهمل به نظر می‌رسند بلکه در واقعیت نیز فرضیات یا استدلالات استفاده شده در آنها ناصحیح است. پارادوکس اسب‌ها یا مسائلی که در انتها نتیجه‌ای مانند ۱ = ۲ می‌دهند از این دسته‌اند.

تناقض

پارادوکس‌هایی که در هیچکدام از دسته‌های فوق نباشند معمولاً تناقض هستند. این دسته از پارادوکس‌ها با استفاده از اصول پذیرفته شده منطق ما را به نتایجی می‌رسانند که با هم متناقض هستند. از این دسته پارادوکس‌ها می‌توان به پارادوکس اعدام غیر منتظره اشاره کرد.

بعضی اوقات دسته چهارمی برای پارادوکس‌ها استفاده شده‌است:
تناقض صحیح

پارادوکسی است که در آن می‌پذیریم که گزاره‌ای در یک لحظه هم صحیح و هم نا صحیح است. در فلسفه بعد از ارسطو چنین حکمی باطل تلقی می‌شود اما در منطق ناسازگار گاهی از آن استفاده می‌شود.
چند مثالِ هیجان‌انگیز از پارادکس‌ها
پارادکسِ دوقلو در نسبیتِ خاص

طبقِ نظریهٔ نسبیتِ خاص اندازه‌گیریِ زمان وابسته به آن است که چه ناظری آن را اندازه می‌گیرد. اصولِ نسبیت نتیجه می‌دهند که از دیدِ هر ناظر ساعت‌هایی که حرکت دارند کندتر از ساعت‌هایِ ساکن کار می‌کنند. غیرِ فیزیکدانان معمولاً از این گزاره برداشتِ نادرستی می‌کنند. برایِ جلوگیری از این برداشت‌ها باید پرسید: ساعت باید نسبت به چه کسی متحرک باشد تا کندتر کار کند؟ کسی که در اتومبیل نشسته‌است ساعتِ خودش را ساکن می‌داند، اما کسی که کنارِ جاده‌است همان ساعت را متحرک می‌بیند. همان‌طور که از اسمِ نظریه برمی‌آید این امر نسبی است، یعنی نکته دقیقاً این است که «متحرک» هیچ معنایی ندارد: باید بگوییم: «متحرک نسبت به...». بسیار خوب، پس نسبیت می‌گوید که فردِ کنارِ جاده می‌تواند ادعا کند که ساعتِ داخلِ اتومبیل کند کار می‌کند. اما فردِ داخلِ اتومبیل اوضاع را چگونه می‌بیند؟ نسبیت می‌گوید او حق دارد ادعا کند که خودش ساکن است و جاده به عقب می‌رود - هیچ رخدادی در جهان نمی‌تواند ثابت کند که او اشتباه می‌کند. پس در این صورت او می‌بیند که ساعتِ فردِ کنارِ جاده کند می‌رود و ساعتِ خودش درست کار می‌کند. این‌ها فقط ادعا نیست، هر دو می‌توانند این موضوع را اندازه‌گیری کنند و هر دو نیز خواهند دید که ادعایشان صحیح است. تا این جا هنوز پارادکسی وجود ندارد، هرچند که نظریهٔ نسبیت کمی عجیب است.

پارادکس از این‌جا آغاز می‌شود که فرض کنیم راننده دور بزند و پیشِ مردِ کنارِ جاده برگردد. تا لحظهٔ قبل از ملاقاتِ آن‌ها هر کدام ادعا می‌کند که ساعتِ دیگری کند کار می‌کند و از ساعتِ خودش عقب است. هنگامی که این دو به هم برسند و ساعت‌هایشان را کنارِ هم بگذارند چه می‌بینند؟ کدام راست می‌گفته است؟ اگر ادعایِ هر کدام از آن‌ها درست دربیاید با اصلِ نسبی بودنِ حرکت تناقض پیدا خواهیم کرد. یعنی حرکت آن‌طور که گفتیم نسبی نیست. یکی از آن‌ها در این ادعا که خودش ساکن و دیگری متحرک است به خطا رفته بوده‌است، و این چیزی است که نظریهٔ نسبیت قبول ندارد.
راهِِ‌حل

نظریهٔ نسبیت فقط برایِ دستگاه‌هایِ دارایِ سرعتِ ثابت گفته شده‌است. اما برایِ این که دو ناظر پیشِ هم بازگردند یکی از آن‌ها باید سرعت‌اش را تغییر دهد (راننده باید دور بزند یا دنده عقب بگیرد). شتاب داشتن نسبی نیست، یعنی هر کس نمی‌تواند ادعا کند که ساکن است و دیگری شتاب دارد. این فرقِ اساسی میانِ سرعت و شتاب (که گالیله و نیوتن آن را کشف کردند) باعث می‌شود که نسبی بودنِ همه‌چیز در این مثال از بین برود. ساعتِ کسی که شتاب گرفته‌است عقب می‌ماند.
پاردکسِ دروغگو

این پارادکس نسخه‌هایِ متعددی دارد و هر کدام بنوبهٔ خود جالب اند. به این نمونه توجه کنید:

متنِ پارادکس:

جمله‌ای که در زیر می‌آید صحیح است.

جمله‌ای که در بالا آمد ناصحیح است.

پایانِ متنِ پارادکس.

هیچ‌یک از جملاتی که در متنِ پارادکس آمد قادر نیستند صادق یا کاذب باشند - کمی به آن‌ها فکر کنید.

نسخهٔ دیگرِ پارادکس:

یک آرایشگر در شهری هست که می‌گوید: «فقط و حتماً سرِ کسانی را اصلاح می‌کنم که خودشان سرِ خودشان را اصلاح نمی‌کنند». سوال این است: این آرایشگر سرِ خودش را اصلاح می‌کند یا نه؟ اگر بکند باید نکند و اگر نکند باید بکند!
راهِ‌حل

این پارادکس یکی از بحث‌انگیزترین پارادکس‌هایِ تاریخ بوده‌است و راهِ‌حل‌هایِ مختلفی برایِ آن پیشنهاد شده‌است. مهم‌ترین راهِ‌حلِ آن گذاشتنِ قیدِ زیر بر رویِ همهٔ زبان‌ها ست: در هیچ زبانی حقِ صحبت دربارهٔ صدق و کذبِ گزاره‌هایِ خودِ آن زبان وجود ندارد. در نظریهٔ مجموعه‌ها این حرف معادلِ آن است که هیچ مجموعه‌ای حق ندارد عضوِ خودش باشد.
پارادکسِ تپه شن یا مویِ سر

یک دانه شن را در نظر بگیرید. مطمئناً این یک دانه یک تپه شن محسوب نمی‌شود. حالا فرض کنیم تعدادی دانه شن داریم که هنوز آن‌قدر نشده‌اند که تپه شن به حساب بیایند. اگر به این تعداد فقط یک دانه اضافه کنیم مطمئناً ناگهان یک تپه نخواهیم داشت. آن‌چه هست هنوز هم تپه شن نیست. پس هیچ تعدادی شن یک تپه شن نیست.

همین استدلال را می‌شود با مویِ سر انجام داد و نتیجه گرفت که همهٔ انسان‌ها کچل اند!
راهِ‌حل

این معضل به این دلیل پدید می‌آید که قواعدِ شفاف و دقیقِ منطقِ کلاسیک را به کلماتِ ذاتاً مبهمِ زبانِ طبیعی اعمال کرده‌ایم. حال یا باید بگوییم زبانِ انسان ایراد دارد و ابهام یک ضعف است، و یا اصالت را به زبان داده و بگوییم زبان هرچه هست به همین صورت درست است، این منطقِ کلاسیک است که ایراد دارد. دراین‌صورت باید منطقی بسازیم که در آن گزاره‌ها بتوانند ابهام داشته باشند، یعنی گاهی نه صددرصد صادق و نه صددرصد کاذب باشند، بلکه ارزشی بینابین را اختیار کنند. به این نوع منطق منطقِ فازی گفته می‌شود.